1、和差问题

已知两数的和与差，求这两个数。

例：已知两数和是10，差是2，求这两个数。

【口诀】

和加上差，越加越大；

除以2，便是大的；和减去差，越减越小；

除以2，便是小的。

按口诀，则大数=（10+2）/2=6，小数=（10-2）/2=4

2、差比问题

例：甲数比乙数大12且甲:乙=7：4，求两数。

【口诀】

我的比你多，倍数是因果。

分子实际差，分母倍数差。

商是一倍的，乘以各自的倍数，两数便可求得。

先求一倍的量，12/（7-4）=4，

所以甲数为：4X7=28，乙数为：4X4=16。

3、年龄问题

例1：小军今年8 岁，爸爸今年34岁，几年后，爸爸的年龄是小军的3倍？

【口诀】

岁差不会变，同时相加减。

岁数一改变，倍数也改变。

抓住这三点，一切都简单。

分析：岁差不会变，今年的岁数差点34-8=26，到几年后仍然不会变。

已知差及倍数，转化为差比问题。

26/（3-1）=13，几年后爸爸的年龄是13X3=39岁，小军的年龄是13X1=13岁，所以应该是5年后。

例2：姐姐今年13岁，弟弟今年9岁，当姐弟俩岁数的和是40岁时，两人各应该是多少岁？

分析：岁差不会变，今年的岁数差13-9=4几年后也不会改变。

几年后岁数和是40，岁数差是4，转化为和差问题。

则几年后，姐姐的岁数：（40+4）/2=22，弟弟的岁数：（40-4）/2=18，所以答案是9年后。

4、和比问题  已知整体，求部分

例：甲乙丙三数和为27，甲:乙:丙=2:3:4，求甲乙丙三数。

【口诀】

家要众人合，分家有原则。

分母比数和，分子自己的。

和乘以比例，就是该得的。

分母比数和，即分母为：2+3+4=9；

分子自己的，则甲乙丙三数占和的比例分别为2/9，3/9，4/9。

和乘以比例，则甲为27X2/9=6，乙为27X3/9=9，丙为27X4/9=12

5、鸡兔同笼问题

例：鸡兔同笼，有头36 ，有脚120，求鸡兔数。

【口诀】

假设全是鸡，假设全是兔。

多了几只脚，少了几只足？

除以脚的差，便是鸡兔数。

求兔时，假设全是鸡，则兔子数=（120-36X2）/（4-2）=24

求鸡时，假设全是兔，则鸡数 =（4X36-120）/（4-2）=12

6、 路程问题   

【口诀】

相遇那一刻，路程全走过。

除以速度和，就把时间得。

(1) 相遇问题

例：甲乙两人从相距120千米的两地相向而行，甲的速度为40千米/小时，乙的速度为20千米/小时，多少时间相遇？

相遇那一刻，路程全走过，即甲乙走过的路程和恰好是两地的距离120千米。

除以速度和，就把时间得，即甲乙两人的总速度为两人的速度之和40+20=60（千米/小时），所以相遇的时间就为120/60=2（小时）

(2) 追及问题

例：姐弟二人从家里去镇上，姐姐步行速度为3千米/小时，先走2小时后，弟弟骑自行车出发速度6千米/小时，几时追上？

【口诀】

慢鸟要先飞，快的随后追。

先走的路程，除以速度差，时间就求对。

先走的路程：3X2=6（千米）

速度的差：6-3=3（千米/小时）

追上的时间：6/3=2（小时）

7、 浓度问题

(1) 加水稀释

例：有20千克浓度为15%的糖水，加水多少千克后，浓度变为10%？

【口诀】

加水先求糖，糖完求糖水。

糖水减糖水，便是加水量。

加水先求糖，原来含糖为：20X15%=3（千克）

糖完求糖水，含3千克糖在10%浓度下应有多少糖水，3/10%=30（千克）

糖水减糖水，后的糖水量减去原来的糖水量，30-20=10（千克）

(2) 加糖浓化

例：有20千克浓度为15%的糖水，加糖多少千克后，浓度变为20%？

【口诀】

加糖先求水，水完求糖水。

糖水减糖水，求出便解题。

加糖先求水，原来含水为：20X（1-15%）=17（千克）

水完求糖水，含17千克水在20%浓度下应有多少糖水，17/（1-20%）=21.25（千克）

糖水减糖水，后的糖水量再减去原来的糖水量，21.25-20=1.25（千克)

8、工程问题

例：一项工程，甲单独做4天完成，乙单独做6天完成。甲乙同时做2天后，由乙单独做，几天完成？

【口诀】

工程总量设为1，1除以时间就是工作效率。

单独做时工作效率是自己的，一起做时工作效率是众人的效率和。

1减去已经做的便是没有做的，没有做的除以工作效率就是结果。[1-（1/6+1/4）X2]/（1/6）=1（天）

9、植树问题

【口诀】

植树多少棵，要问路如何？

直的减去1，圆的是结果。

例1：在一条长为120米的马路上植树，间距为4米，植树多少棵？

路是直的，则植树为120/4-1=29（棵）。

例2：在一条长为120米的圆形花坛边植树，间距为4米，植树多少棵？

路是圆的，则植树为120/4=30（棵）

10、盈亏问题

【口诀】

全盈全亏，大的减去小的；

一盈一亏，盈亏加在一起。

除以分配的差，

结果就是分配的东西或者是人。

例1：小朋友分桃子，每人10个少9个；每人8个多7个。求有多少小朋友多少桃子？

一盈一亏，则公式为：（9+7）/（10-8）=8（人），相应桃子为8X10-9=71（个）

例2：士兵背子弹。每人45发则多680发；每人50发则多200发，多少士兵多少子弹？

全盈问题，则大的减去小的，即公式为：（680-200）/（50-45）=96（人），相应的子弹为96X50+200=5000（发）。

例3：学生发书。每人10本则差90本；每人8 本则差8本，多少学生多少书？

全亏问题，则大的减去小，即公式为：（90-8）/（10-8）=41（人），相应书为41X10-90=320（本）

11、余数问题

例：时钟现在表示的时间是18点整，分针旋转1990圈后是几点钟？

【口诀】

余数有（N-1）个，最小的是1，最大的是（N-1）。

周期性变化时，不要看商，只要看余。

分析：分针旋转一圈是1小时，旋转24圈就是时针转1圈，也就是时针回到原位。1980/24的余数是22，所以相当于分针向前旋转22个圈，分针向前旋转22个圈相当于时针向前走22个小时，时针向前走22小时，也相当于向后24-22=2个小时，即相当于时针向后拔了2小时。即时针相当于是18-2=16（点）

12、牛吃草问题

【口诀】

每牛每天的吃草量假设是份数1，A头B天的吃草量算出是几？M头N天的吃草量又是几？大的减去小的，除以二者对应的天数的差值，结果就是草的生长速率。原有的草量依此反推。

公式：A头B天的吃草量减去B天乘以草的生长速率。未知吃草量的牛分为两个部分：一小部分先吃新草，个数就是草的比率；有的草量除以剩余的牛数就将需要的天数求知。

例：整个牧场上草长得一样密，一样快。27头牛6天可以把草吃完；23头牛9天也可以把草吃完。问21头多少天把草吃完。

每牛每天的吃草量假设是1，则27头牛6天的吃草量是27X6=162，23头牛9天的吃草量是23X9=207；

大的减去小的，207-162=45；二者对应的天数的差值，是9-6=3（天），则草的生长速率是45/3=15（牛/天）；

原有的草量，依此反推——

公式：A头B天的吃草量减去B天乘以草的生长速率。

原有的草量=27X6-6X15=72（牛/天）。

将未知吃草量的牛分为两个部分：

一小部分先吃新草，个数就是草的比率，这就是说将要求的21头牛分为两部分，一部分15头牛吃新生的草；剩下的21-15=6去吃原有的草，

所求的天数为：原有的草量/分配剩下的牛=72/6=12（天）

一、概念理解不清楚

（一）计算题

500÷25×4 34－16+14

=500÷（25×4） =34—30

=500÷100 =4

=5

错误率：46.43% ；35.71%；

错题原因分析：

学生在学了简便运算定律后但还不太理解的基础上，就乱套用定律，一看到题目，受数字干扰，只想到凑整，而忽略了简便方法在这两题中是否可行。

例如第1题学生就先算了25×4等于100；第2题先算16+14等于30；从而改变了运算顺序，导致计算结果错误。

错题解决对策：

（1）明确在乘除混合运算或在加减混合运算中，如果不具备简便运算的因素，就要按从左往右的顺序计算。

（2）强调混合运算的计算步骤：a仔细观察题目；b明确计算方法：能简便的用简便方法计算，不能简便的按正确的计算方法计算。并会说运算顺序。

（3）在理解运算定律及四则运算顺序的基础上加强练习以达到目的。

对应练习题：

14.4-4.4÷0.5；7.5÷1.25×8；36.4-7.2+2.8。

（二）判断题

1. 3/100吨＝3%吨⋯⋯⋯（ √ ）

错误率：71.43%

错题原因分析：

百分数是“表示一个数是另一个数的百分之几的数。”

它只能表示两数之间的倍数关系，不能表示某一具体数量。

而学生正是由于对百分数的意义缺乏正确认识，所以导致这题判断错误。

错题解决对策：

（1）明确百分数与分数的区别；理解百分数的意义。

（2）找一找生活中哪儿见到过用百分数来表示的，从而进一步理解百分数的意义。

2. 两条射线可以组成一个角。⋯⋯⋯（ √ ）

错误率：64.29%

错题原因分析：

角是由一个顶点和两条直直的边组成的。

学生主要是对角的概念没有正确理解。还有个原因是审题不仔细，没有深入思考。

看到有两条射线就以为可以组成一个角，而没有考虑到顶点！

错题解决策略：

（1）根据题意举出反例，让学生知道组成一个角还有一个必不可少条件是有顶点。

（2）回忆角的概念。强调要组成一个角必不可少的两个条件：一个顶点、两条射线。

（3）教育学生做题前要仔细审题，无论是简单的还是难的题目都要深入多加思考，绝不能掉以轻心。

（三）填空题

1.两个正方体的棱长比是1：3，这两个正方体的表面积比是（1：3 ）；体积比是（ 1: 5或1：9）。

错误率：42.86%；35.71%。

错题原因分析：

这题是《比的应用》部分的内容。目的是考查学生根据正方体的棱长比求表面积和体积的比。

所以正方体的表面积和体积的计算公式是关键。

学生有的是因为对正方体的表面积和体积的计算方法忘记了，有的是因为对比的意义不理解，认为表面积比和棱长比相同，所以导致做错。

错题解决策略：

（1）巩固理解比的意义及求比的方法。

（2）明确正方体的表面积和体积的计算方法。

（3）结合类似的题型加以练习，进一步巩固对比的应用。

对应练习题：

1. 大圆半径和小圆半径比是3：2，大圆和小圆直径比是（ 3:2 ）；大圆和小圆周长比是（3:2 ）；大圆和小圆的面积比是（ 9:4 ）。

2. 圆柱的高一定，它的底面半径和体积成（ 正 ）比例。

错误率：78.57%

错题原因分析：

这题是《正比例和反比例》的内容。

学生做错的主要原因是对正比例和反比例的意义没有很好的理解和掌握，从而不会判断。

也有的是因为他们把两个变量——底面半径和体积误看成是底面积和体积了，而导致这题做错。

错题解决策略：

（1）明确比例的意义及判断方法。两种相关联的量，一种量随着另一种量的变化而变化，在变化的过程中，这两个量的比值一定，那么这两种量就叫做成正比例的量；如果两种量的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量。

（2）让生列出圆柱的体积计算公式，并根据题意找出高一定的情况下底面半径与体积这两个变量的关系，从而明确它们的比例关系。

（3）结合类似的题目加强练习以达到目的。

对应练习：

圆的周长和它的半径成（正 ）比例。

3. 10克盐放入100克水中，盐水的含盐率为（ 10）%。

错误率：71.43%

错题原因分析：

一些学生是因为对“含盐率”这一概念的不理解，所以不知该如何计算，而导致做错。

一些学生比较粗心，题目当中的10克盐和100克水这样的数字也很容易使那些粗心的学生马上得出10%这样的错误答案。

错题解决策略：

（1）理解含盐率的意义。并结合合格率、成活率等类似概念进一步理解。

（2）结合求含糖率、合格率、出勤率等类似题目加强练习以达到目的。

（3）教育学生做题前要养成仔细审题、认真思考的习惯。

对应练习题：

植树节那天，五年级共植树104棵，其中有8棵没有成活。这批树的成活率是（ 92.31% ）。

4. 甲班人数比乙班多2/5，乙班人数比甲班少（2/5或3/5）。

错误率：60.71%；

错题原因分析：

学生把表示具体量25与表示倍数的25在意义上混同了。认为甲班人数比乙班人数多2/5就是乙班人数比甲班少2/5。

对于数量与倍数不能区分。而且一会儿把甲班人数当成单位“1”，一会儿把乙班人数当成单位“1”，概念不清楚。

错题解决策略：

（1）0区分数量与倍数的不同。

（2）画线段图，建立直观、形象的模型来帮助理解。

（3）明确把乙班人数看做单位“１”的量，于是甲班人数是：（１+2/5）＝7/5.所以乙班人数比班甲人数少2/5÷7/5＝2/7。

（4）结合类似题目加强练习以达目的。

对应练习：

甲数比乙数少1/4，乙数比甲数多（1/3）。

判断：甲堆煤比乙堆煤重1/3吨，乙煤比甲堆煤少1/3。⋯⋯⋯（ ×）

5. 把一根5/6米的绳子平均分成５段，每段占全长的（1/6），每段长（1/6）。

错误率：52%；50%；

错题原因分析：

每段与全长之间的关系是1份和5份之间的关系，即每段占全长的1/5，5/6÷5＝1/6米，每段长1/6米。

本题考查分数的意义的理解和分数除法的运用，学生没有理解和掌握。所以因为分不清两个问题的含义而把两个答案混淆了。

一般这类型的题目在最后一个括号后会写上单位。

但为了检查学生的细心程度，单位没写，于是有些本来会做的人因为粗心而又错了。

错题解决策略：

（1）理解分数的意义；弄清楚两个问题各自的含义。

（2）教育学生做题前要养成仔细审题、认真思考的习惯。

（3）在理解了分数的意义基础上加强练习以达到目的。

对应练习题：

判断：有4/5吨煤准备烧4天，平均每天烧1/5 。⋯⋯⋯（ × ）。

二、知识负迁移类

（一）计算题

0.9+0.1－0.9+0.1 =1—1 =0

错误率：28.57%

错题原因分析：

一看到例题，学生就想到a×b-c×d形式的题目，就乱套用定律，只想到凑整，而忽略了简便是否可行。

从而改变了运算规则，导致计算结果错误。

错题解决策略：

（1）明确在加减混合运算中，如果不具备简便运算的因素，就要按从左往右的顺序计算。

（2）强调混合运算的计算步骤：a仔细观察题目；b明确计算方法：能简便的用简便方法计算，不能简便的按正确的计算方法计算。并会说运算顺序。

（3）在理解运算定律及四则运算顺序的基础上加强练习以达到目的。

对应练习题：

1/4×4÷1/4×4；527×50÷527×50；

（二）选择题

400÷18＝22⋯⋯4，如果被除数与除数都扩大100倍，那么结果是（ A ）

A.商22余4 B.商22余400 C. 商2200余400

错误率：64.28%

错题原因分析：

本题考查与商不变性质有关的知识。被除数、除数都扩大100倍后，商不变，但余数也扩大了100倍，想要得到原来的余数，需要缩小100倍。

而学生误认为商不变余数也不变，所以错选A，正确答案应该选B。

错题解决策略：

（1）验算。请学生用答案A的商乘除数加余数检验是否等于被除数。从而发现选A是错误的。

（2）明确商不变的性质。但是当被除数、除数都扩大100倍后，商不变，但余数也扩大了100倍。想要得到原来的余数，需要缩小100倍。

（3）在理解商不变性质有关知识基础上加强练习以达到目的。

对应练习：

选择题：2.5除以1.5，商为1，余数是（ D ）。

A.10 B. 0.01 C. 0.1 D. 1

（三）填空题

4/11的分子加上8，要使分数的大小不变，分母应加上（ 8 ）

错误率：21.4%

错题原因分析：

学生由于对分数的基本性质理解错误，把分子、分母同时乘一个相同的数与同时加上一个相同的数混同，错误认为分子也应该加上8。

错题解决策略：

（1）请学生将4/11与答案12/19进行大小比较，从而发现分数大小变了，引发思考。

（2）理解分数的基本性质。分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

（3）结合类似题目加强练习以达到目的。

对应练习题：

把2/3的分母加上12，要使分数的大小不变，分子应加上（ 8 ）。

三、粗心大意类

1、计算题

7÷7/9－7/9÷7 ＝1－1 ＝0

错误率：39.28%

错题原因分析：

本题是考查学生分数四则运算。

两个除法算式中都是7和7/9这两个数，由于粗心大意，会认为它们商是相等的。

于是等到“1－1＝0”的错误答案。

错题解决策略：

教育学生做题前要仔细审题，无论是简单的还是难的题目都要多加思考，绝不能掉以轻心。

2、填空题

一座钟时针长3厘米，它的尖端在一昼夜里走过的路程是（18.84厘米 ）。

错误率：67.85%

错题原因分析：

这题是《圆的周长》部分的内容。学生对于这道题，知道要利用求圆的周长这一知识点来解决。

但对“一昼夜”这词不理解或是没有仔细审题，因此只计算了时针转一圈所经过的周长，最终导至结果错误。

错题解决策略：